Lời giải bài 106 – 116 trang 27,28, 29,30 SBT Toán 7: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai

Bài 11 SBT Toán 7: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai – Đáp án bài 106 trang 27; bài 107, 108, 109, 110, 111 trang 28; Câu 11.1; 11.2; 11.3; 11.4 trang 29; 30 ; bài 112 , 113, 114, 115, 116 trang 29 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1 – Câu 11.5; 11.6; 11.7 trang 30. Cho x là số hữu tỉ khác 0, y là một số vô tỉ. Chứng tỏ rằng x + y và x.y là những số vô tỉ

Bài 106 trang 27

Điền số thích hợp vào các bảng sau:

Giải


Câu 107. Tính:

a) \(\sqrt {81} \)                                 b) \(\sqrt {8100} \)

c) \(\sqrt {64} \)                                 d) \(\sqrt {0,64} \)

e) \({\rm{}}\sqrt {1000000} \)                     g) \(\sqrt {0,01} \)

h) \(\sqrt {{{49} \over {100}}} \)                              i) \(\sqrt {{4 \over {25}}} \)

k) \(\sqrt {{{0,09} \over {121}}} \)

Giải

a) \(\sqrt {81}  = 9\)                                  b) \(\sqrt {8100}  = 90\)

c) \(\sqrt {64}  = 8\)                                  d) \(\sqrt {0,64}  = 0,8\)

e) \({\rm{}}\sqrt {1000000}  = 1000\)               g) \(\sqrt {0,01}  = 0,1\)

h) \(\sqrt {{{49} \over {100}}}  = {7 \over {10}}\)                             i) \(\sqrt {{4 \over {25}}}  = {2 \over 5}\)

k) \(\sqrt {{{0,09} \over {121}}}  = {{0,3} \over {11}} = {3 \over {110}}\)


Bài 108 trang 28 Sách bài tập Toán lớp 7

Trong các số sau đây, số nào có căn bậc hai? Hãy cho biết căn bậc hai không âm của các số đó:

a =  0                 b = -25                c = 1               d = 16 + 9

\({\rm{e}} = {3^2} + {4^2}\)                                 \(g = \pi  – 4\)

\(h = {(2 – 11)^2}\)                            \(i = {\left( { – 5} \right)^2}\)

\(k =  – {3^2}\)                                      \(1 = \sqrt {16} \)

\(m = {3^4}\)                                        \(n = {5^2} – {3^2}\)

Giải

Các số có căn bậc hai:

a =  0             c = 1            d = 16 + 9

\({\rm{e}} = {3^2} + {4^2}\)

\(h = {(2 – 11)^2}\)                 \(i = {\left( { – 5} \right)^2}\)

\(1 = \sqrt {16} \)                           \(m = {3^4}\)

Ta có:

\(\sqrt a  = \sqrt 0  = 0\)

\(\sqrt c  = \sqrt 1  = 1\)

\(\sqrt d  = \sqrt {16 + 9}  = \sqrt {25}  = 5\)

\(\sqrt e  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = \sqrt {25}  = 5\)

\(\sqrt h  = \sqrt {{{\left( {2 – 11} \right)}^2}}  = \sqrt {81}  = 9\)

\(\sqrt i  = \sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2}}  = \sqrt {25}  = 5\)

\(\sqrt 1  = \sqrt {\sqrt {16} }  = \sqrt 4  = 2\)

\(\sqrt m  = \sqrt {{3^4}}  = {3^2} = 9\)

\(\sqrt n  = \sqrt {{5^2} – {3^2}}  = \sqrt {16}  = 4\)


Câu 109 trang 28

Hãy cho biết mỗi số sau đây là căn bậc hai của số nào?

\(a{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }} – 5{\rm{ }};{\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}25{\rm{ }};\)

\({\rm{ }}e{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}g{\rm{ }} = \sqrt 7 \)

\(h = {3 \over 4};i = \sqrt 4  – 3;k = {1 \over 4} – {1 \over 2}\)

Hướng dẫn giải:

a = 2 là căn bậc hai của 4

b = -5 là căn bậc hai của 25

c = 1 là căn bậc hai của 1

d = 25 là căn bậc hai của 625

e = 0 là căn bậc hai của 0

\(g = \sqrt 7 \) là căn bậc hai của 7

\(h = {3 \over 4}\) là căn bậc hai của \({9 \over {16}}\)

\(i = \sqrt 4  – 3 = 2 – 3 =  – 1\) là căn bậc hai của 1

\(k = {1 \over 4} – {1 \over 2} =  – {1 \over 4}\) là căn bậc hai của \({1 \over {16}}\)


Bài 110 trang 28

Tìm căn bậc hai không âm của các số sau:

a) \({\rm{}}16;1600;0,16;{16^2}\)

b) \(25;{5^2};{\left( { – 5} \right)^2};{25^2}\)

c) 1 ;100 ;0,01 ;10000

d) 0,04 ;0,36 ;1,44 ;0,0121

Giải

a) \({\rm{}}\sqrt {16}  = 4;\sqrt {1600}  = 40;\)

\(\sqrt {0,16}  = 0,4;\sqrt {{{16}^2}}  = 16\)

b) \(\sqrt {25}  = 5;\sqrt {{5^2}}  = 5;\)

\(\sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2}}  = \sqrt {25}  = 5;\sqrt {{{25}^2}}  = 25\)

c) \(\sqrt 1  = 1;\sqrt {100}  = 10;\)

\(\sqrt {0,01}  = 0,1;\sqrt {10000}  = 100\)

d) \(\sqrt {0,04}  = 0,2;\sqrt {0,36}  = 0,6;\)

\(\sqrt {1,44}  = 1,2;\sqrt {0,0121}  = 0,11\)


Bài 111 trang 28 SBT Toán lớp 7 tập 1

Trong các số sau, số nào bằng \({3 \over 7}\)?

\({\rm{a}} = {{39} \over {91}}\)

\(b = \sqrt {{{{3^2}} \over {{7^2}}}} \)

\(c = {{\sqrt {{3^2}}  + \sqrt {{{39}^2}} } \over {\sqrt {{7^2}}  + \sqrt {{{91}^2}} }}\)

\({\rm{d}} = {{\sqrt {{3^2}}  – \sqrt {{{39}^2}} } \over {\sqrt {{7^2}}  – \sqrt {{{91}^2}} }}\)

Giải

Tất cả các số đều bằng \({3 \over 7}\)

\({\rm{a}} = {{39} \over {91}} = {{39:13} \over {91:13}} = {3 \over 7}\)

\(b = \sqrt {{{{3^2}} \over {{7^2}}}}  = \sqrt {{{\left( {{3 \over 7}} \right)}^2}}  = {3 \over 7}\)

\(c = {{\sqrt {{3^2}}  + \sqrt {{{39}^2}} } \over {\sqrt {{7^2}}  + \sqrt {{{91}^2}} }} = {{3 + 39} \over {7 + 91}} = {{42} \over {98}} = {{42:14} \over {98:14}} = {3 \over 7}\)

\({\rm{d}} = {{\sqrt {{3^2}}  – \sqrt {{{39}^2}} } \over {\sqrt {{7^2}}  – \sqrt {{{91}^2}} }} = {{3 – 39} \over {7 – 91}} = {{ – 36} \over { – 84}} = {{ – 36:( – 12)} \over { – 84:( – 12)}} = {3 \over 7}\)


Câu 11.1; 11.2; 11.3; 11.4 trang 29; 30 Sách Bài Tập SBT Toán lớp 7 tập 1

Câu 11.1. Trong các số \(\sqrt {289} ; – {1 \over {11}}\); 0,131313…; 0,010010001…, số vô tỉ là số:

(A) \(\sqrt {289} ;\)                                     (B) \( – {1 \over {11}}\);

(C) 0,131313…;                            (D) 0,010010001…

Hãy chọn đáp án đúng.

Chọn (D) 0,010010001…

Câu 11.2

\(\sqrt {256} \) bằng:

(A) 128 ;                     (B) -128 ;

(C) 16 ;                       (D) ±16.

Hãy chọn đáp án đúng.

Chọn (C) 16.

Câu 11.3

Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh:

\(\sqrt {40 + 2} \) với \(\sqrt {40}  + \sqrt 2 \).

- Quảng cáo -

Giải

\(\sqrt {40 + 2}  = \sqrt {42}  < \sqrt {49}  = 7\)                                  (1)

\(\sqrt {40}  + \sqrt 2  > \sqrt {36}  + \sqrt 1  = 6 + 1 + 7\)                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt {40 + 2}  < \sqrt {40}  + \sqrt 2 \)

Câu 11.4

Cho \(A = \sqrt {625}  – {1 \over {\sqrt 5 }};B = \sqrt {576}  – {1 \over {\sqrt 6 }} + 1\)

Hãy so sánh A và B.

Giải

\(A = \sqrt {625}  – {1 \over {\sqrt 5 }} = 25 – {1 \over {\sqrt 5 }}\)                               (1)

\(B = \sqrt {576}  – {1 \over {\sqrt 6 }} + 1\)

\(= 24 – {1 \over {\sqrt 6 }} + 1 = 25 – {1 \over {\sqrt 6 }}\)                                  (2)

Vì √5 < √6 nên \({1 \over {\sqrt 5 }} > {1 \over {\sqrt 6 }}\)                                        (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra A < B.


Bài 112 trang 29 SBT Toán lớp 7 tập 1

Trong các số sau, số nào không bằng 2,4 ?

\({\rm{a}} = \sqrt {{{\left( {2,5} \right)}^2} – {{\left( {0,7} \right)}^2}} \)

\(b = \sqrt {{{\left( {2,5 – 0,7} \right)}^2}} \)

\(c = \sqrt {\left( {2,5 + 0,7} \right)\left( {2,5 – 0,7} \right)} \)

\({\rm{d}} = \sqrt {5,76} \)

\({\rm{e}} = \sqrt {1,8.3,2} \)

\(g = 2,5 – 0,7\)

Giải

\(b = \sqrt {{{\left( {2,5 – 0,7} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1,8} \right)}^2}}  = 1,8 \ne 2,4\)

\(g = 2,5 – 0,7 = 1,8 \ne 2,4\)


Bài 113. a) Điền số thích hợp vào chỗ trống (…)

\(\eqalign{
& \sqrt {121} = … \cr
& \sqrt {12321} = … \cr
& \sqrt {1234321} = … \cr} \)

b) Viết tiếp ba đẳng thức nữa vào ”danh sách” trên.

Giải

a)

\(\eqalign{
& \sqrt {121} = 11 \cr
& \sqrt {12321} = 111 \cr
& \sqrt {1234321} = 1111 \cr} \)

b)

\(\eqalign{
& \sqrt {123454321} = 11111 \cr
& \sqrt {12345654321} = 111111 \cr
& \sqrt {1234567654321} = 1111111 \cr} \)


Câu 114 trang 29 SBT Toán 7

a) Điền số thích hợp vào chỗ trống (…):

\(\sqrt 1  = …\)

\(\sqrt {1 + 2 + 1}  = …\)

\(\sqrt {1 + 2 + 3 + 2 + 1}  = …\)

b) Viết tiếp ba đẳng thức nữa vào “danh sách” trên .

Giải

a)

\(\eqalign{
& \sqrt 1 = 1 \cr
& \sqrt {1 + 2 + 1} = \sqrt 4 = 2 \cr
& \sqrt {1 + 2 + 3 + 2 + 1} = \sqrt 9 = 3 \cr} \)

b)

\(\eqalign{
& \sqrt {1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1} = \sqrt {16} = 4 \cr
& \sqrt {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1} = \sqrt {25} = 5 \cr
& \sqrt {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1} = \sqrt {36} = 6 \cr}\)


Câu 115. Cho x là số hữu tỉ khác 0, y là một số vô tỉ. Chứng tỏ rằng x + y và x.y là những số vô tỉ .

Giải

Giả sử x + y = z là một số hữu tỉ

\( \Rightarrow \) y = z – x  ta có z hữu tỉ, x hữu tỉ thì hiệu z – x là một số hữu tỉ

\( \Rightarrow \) y ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ

Vậy x + y là số vô tỉ

Giả sử x.y  = z là một số hữu tỉ

\( \Rightarrow \) y = z: x mà x ∈ Q, z ∈ Q \( \Rightarrow \) z: x ∈ Q

\( \Rightarrow \) y ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ

Vậy xy là số vô tỉ.


Bài 116 trang 29 SBT Toán lớp 7 tập 1

Biết a là số vô tỉ. Hỏi b là số hữu tỉ  hay vô tỉ nếu:

a) a + b là số hữu tỉ?                 b) a.b là số hữu tỉ?

Giải

a) Đặt tổng a + b = c \( \Rightarrow \) a = c – b

Vì a là số vô tỉ nên b là số vô tỉ

b) Nếu b = 0 \( \Rightarrow \) a.b = 0 ∈ Q

Nếu b ≠ 0 ta đặt \(ab{\rm{ }} = {\rm{ }}c{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}a{\rm{ }} = {c \over b}\)

Vì a là số vô tỉ nên b là số vô tỉ


Câu 11.5; 11.6; 11.7 trang 30 SBT Toán lớp 7

Câu 11.5

Cho \(A = \sqrt {x + 2}  + {3 \over {11}};B = {5 \over {17}} – 3\sqrt {x – 5} \)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B.

Giải

a) Ta có \(A \ge {3 \over {11}}\) vì \(\sqrt {x + 2}  \ge 0\)

A đạt giá trị nhỏ nhất là \({3 \over {11}}\) khi và chỉ khi x = -2.

b) \(B \le {5 \over {17}}\) vì \( – 3\sqrt {x – 5}  \le 0\)

Vậy B đạt giá trị lớn nhất là \({5 \over {17}}\) khi và chỉ khi x = 5.

Câu 11.6

Cho \(A = {{\sqrt x  – 3} \over 2}\). Tìm x ∈ Z và x < 30 để A có giá trị nguyên.

Giải

\(A = {{\sqrt x  – 3} \over 2}\) có giá trị nguyên nên \((\sqrt x  – 3) \vdots 2\).

Suy ra x là số chính phương lẻ.

Vì x < 30 nên \(x \in \left\{ {{1^2};{3^2};{5^2}} \right\}\) hay \(x \in \left\{ {1;9;25} \right\}\).

Câu 11.7

Cho \(B = {5 \over {\sqrt x  – 1}}\). Tìm x ∈ Z để B có giá trị nguyên.

Giải

Khi x là số nguyên thì √x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không phải số chính phương). Để \(B = {5 \over {\sqrt x  – 1}}\) là số nguyên thì √x không thể là số vô tỉ, do đó √x là số nguyên và √x – 1 phải là ước của 5 tức là √x – 1 ∈ Ư(5). Để B có nghĩa ta phải có x ≥ 0 và x ≠ 1. Ta có bảng sau:

√x – 1

1

-1

5

-5

√x

2

0

6

-4 (loại)

x

4

0

36

Vậy \(x \in \left\{ {4;0;36} \right\}\) (các giá trị này đều thoả mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1).

- Quảng cáo -