Tiết 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ – trang 7,8 SBT Toán lớp 8

Bài 3, 4, 5 SBT Toán 8 tập 1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ – Hướng dẫn giải bài 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 trang 7; câu 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Bài 11 trang 7 Sách bài tập Toán 8 tập 1

Tính:

a. \({\left( {x + 2y} \right)^2}\)

b. \(\left( {x – 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)\)

c. \({\left( {5 – x} \right)^2}\)

Giải:

a. \({\left( {x + 2y} \right)^2})\)­­ \(= {x^2} + 4xy + 4{y^2}\)

b. \(\left( {x – 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)\) \( = {x^2} – {\left( {3y} \right)^2} = {x^2} – 9{y^2}\)

c. \({\left( {5 – x} \right)^2}\) \( = {5^2} – 10x + {x^2} = 25 – 10x + {x^2}\)


Bài 12 trang 7 SBT Toán 8 tập 1

Tính:

a. \({\left( {x – 1} \right)^2}\)

b. \({\left( {3 – y} \right)^2}\)

c. \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}\)

Giải:

a. \({\left( {x – 1} \right)^2}$$ = {x^2} – 2x + 1\)

b. \({\left( {3 – y} \right)^2}$ $ = 9 – 6y + {y^2}\)

c. \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}$ $ = {x^2} – x + {1 \over 4}\)


Bài 13. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

a. \({x^2} + 6x + 9\)

b. \({x^2} + x + {1 \over 4}\)

c. \(2x{y^2} + {x^2}{y^4} + 1\)

Giải:

a. \({x^2} + 6x + 9\)\( = {x^2} + 2.x.3 + {3^2} = {\left( {x + 3} \right)^2}\)

b. \({x^2} + x + {1 \over 4}\) \(= {x^2} + 2.x.{1 \over 2} + {\left( {{1 \over 2}} \right)^2} = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2}\)

c. \(2x{y^2} + {x^2}{y^4} + 1\)\( = {\left( {x{y^2}} \right)^2} + 2.x{y^2}.1 + {1^2} = {\left( {x{y^2} + 1} \right)^2}\)


Bài 14 trang 7 SBT Toán 8

Rút gọn biểu thức:

a. \({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\)

b. \(2\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\)

c. \({\left( {x – y + z} \right)^2} + {\left( {z – y} \right)^2} + 2\left( {x – y + z} \right)\left( {y – z} \right)\)

Giải:    

a. \({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\) \( = {x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} – 2xy + {y^2} = 2{x^2} + 2{y^2}\)

b. \(2\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – y} \right)^2}\)

\( = {\left[ {\left( {x + y} \right) + \left( {x – y} \right)} \right]^2} = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2}\)

c. \({\left( {x – y + z} \right)^2} + {\left( {z – y} \right)^2} + 2\left( {x – y + z} \right)\left( {y – z} \right)\)

\(\eqalign{  &  = {\left( {x – y + z} \right)^2} + 2\left( {x – y + z} \right)\left( {y – z} \right) + {\left( {y – z} \right)^2}  \cr  &  = {\left[ {\left( {x – y + x} \right) + \left( {y – z} \right)} \right]^2} = {x^2} \cr} \)


Bài 15. Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng \({a^2}\) chia cho 5 dư 1.

Giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 ⟹a=5k+4 (k∈N)

Ta có: \(\eqalign{  & {a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 = 25{k^2} + 40k + 15 + 1  \cr  &  \cr} \)

                 \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1\)

                 \( = 5\left( {5{k^2} + 8k + 3} \right) + 1 \vdots 5\) .

Vậy \({a^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2}\) chia cho 5 dư 1


Bài 16 sbt toán 7 trang 7

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a. \({x^2} – {y^2}\)  tại \(x = 87\)  và  \(y = 13\)

b. \({x^3} – 3{x^2} + 3x – 1\) tại \(x = 101\)

c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\)  tại \(x = 97\)

Giải:

a. \({x^2} – {y^2}\)\(= \left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)\) . Thay \(x = 87;y = 13\)

     Ta có: \({x^2} – {y^2}\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)\)

\( = \left( {87 + 13} \right)\left( {87 – 13} \right) = 100.74 = 7400\)

b. \({x^3} – 3{x^2} + 3x – 1\) \( = {\left( {x – 1} \right)^3}\)

Thay \(x = 101\)

Ta có: \({\left( {x – 1} \right)^3} = {\left( {101 – 1} \right)^3} = {100^3} = 1000000\)

c. \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) \( = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3} = {\left( {x + 3} \right)^3}\)

Thay \(x = 97\)  ta có:

\({\left( {x + 3} \right)^3} = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000\)


Câu 17 trang 7

Chứng minh rằng:

a. \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) + \left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\)

b. \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} – 2ab + {b^2} + ab} \right] = {a^3} + {b^3}\)

c. \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad – bc} \right)^2}\)

Giải:      

a. Biến đổi vế trái:

\(\eqalign{  & \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) + \left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)  \cr  &  = a{}^3 + {b^3} + {a^3} – {b^3} = 2{a^3} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế phải:

\(\eqalign{  & \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} – 2ab + {b^2} + ab} \right]  \cr  &  = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \cr} \)

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế phải:

\(\eqalign{  & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad – bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} – 2abcd + {b^2}{c^2}  \cr  &  = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)  \cr  &  = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \)

Vế phải bằng vế trái, đẳng  thức được chứng minh.


Bài 18 trang 7 SBT Toán 8 tập 1

Chứng tỏ rằng:

a. \({x^2} – 6x + 10 > 0\)  với mọi \(x\)

b. \(4x – {x^2} – 5 < 0\)  với mọi \(x\)

Giải:

a. \({x^2} – 6x + 10 = {x^2} – 2.x.3 + 9 + 1 = {\left( {x – 3} \right)^2} + 1\)

Ta có: \({\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\)  nên \({\left( {x – 3} \right)^2} + 1 > 0\)  mọi \(x\)

Vậy \({x^2} – 6x + 10 > 0\) với mọi \(x\)

b. \(4x – {x^2} – 5 =  – \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) – 1 =  – {\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)

- Quảng cáo -

Ta có: \({\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi  ⇒\( – {\left( {x – 2} \right)^2} \le 0\)  mọi \(x\)

⇒\( – {\left( {x – 2} \right)^2} – 1 < 0\)  với mọi \(x\)

Vậy \(4x – {x^2} – 5 < 0\)với mọi \(x\)


Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 tập 1

Tìm giá trị nhỏ nhất  của các đa thức:

a. P\( = {x^2} – 2x + 5\)

b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)

c. M\( = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10\)

Giải:  

a. P\(= {x^2} – 2x + 5)\\( = {x^2} – 2x + 1 + 4 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4\)

Ta có:

\({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

\( \Rightarrow P = {x^2} – 2x + 5 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

\( \Rightarrow P = 4\)  là giá trị bé nhất ⇒ \({\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1\)

Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi

b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)\( = 2\left( {{x^2} – 3x} \right) = 2\left( {{x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} – {9 \over 4}} \right)\)

 \( = 2\left[ {{{\left( {x – {2 \over 3}} \right)}^2} – {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2}\)

      Ta có: \({\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2} \ge  – {9 \over 2}\)

       \( \Rightarrow Q =  – {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow {\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\)

       Vậy \(Q =  – {9 \over 2}\)  là giá trị bé nhất của đa thức \(x = {2 \over 3}\)

c.

\(\eqalign{  & M = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} – x + 1} \right)  \cr  &  = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} – 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \)

\( \Rightarrow M = {3 \over 4}\)  là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\)

\( \Rightarrow y =  – 3\)  và \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\)

Vậy \(M = {3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y =  – 3\) và \(x = {1 \over 2}\)


Bài 20 trang 7

Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a. \(A = 4x – {x^2} + 3\)

b. \(B = x – {x^2}\)

c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\)

Giải:

a. \(A = 4x – {x^2} + 3 = 7 – {x^2} + 4x – 4 = 7 – \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2}\)

Ta có: \({\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra: \(A = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2} \le 7\)

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\)

b. \(B = x – {x^2})\\( = {1 \over 4} – {x^2} + x – {1 \over 4} = {1 \over 4} – \left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}\)

Vì \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\)

c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\) \( =  – 2\left( {{x^2} – x + {5 \over 2}} \right) =  – 2\left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)

   \( =  – 2\left[ {{{\left( {x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] =  – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2}\)

Vì\({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)  nên\( – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)

Suy ra: \(N =  – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2} \le  – {9 \over 2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( – {9 \over 2}\)  tại \(x = {1 \over 2}\)


Câu 3.1.

Cho \({x^2} + {y^2} = 26\)  và\(xy = 5\)  giá trị của\({\left( {x – y} \right)^2}\)  là:

A. 4

B. 16

C. 21

D. 36

Giải:

Chọn B. 16


Câu 3.2. Kết quả của tích

\(\left( {{a^2} + 2a + 4} \right)\left( {a – 2} \right)\)  là:

A. \({\left( {a + 2} \right)^3}\)

B. \({\left( {a – 2} \right)^3}\)

C. \({a^3} + 8\)

D. \({a^3} – 8\)

Giải:

Chọn D. \({a^3} – 8\)


Câu 3.3 trang 8 Sách bài tập Toán 8 tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a. \(P = {\left( {5x – 1} \right)^2} + 2\left( {1 – 5x} \right)\left( {4 + 5x} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2}\)

b. \(Q = {\left( {x – y} \right)^3} + {\left( {y + x} \right)^3} + {\left( {y – x} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right)\)

Giải:

a. \(P = {\left( {5x – 1} \right)^2} + 2\left( {1 – 5x} \right)\left( {4 + 5x} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2}\)

   \(\eqalign{  &  = {\left( {1 – 5x} \right)^2} + 2\left( {1 – 5x} \right)\left( {5x + 4} \right) + {\left( {5x + 4} \right)^2}  \cr  &  = {\left[ {\left( {1 – 5x} \right) + \left( {5x + 4} \right)} \right]^2} = {5^2} = 25 \cr} \)

b. \(Q = {\left( {x – y} \right)^3} + {\left( {y + x} \right)^3} + {\left( {y – x} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right)\)

   \(\eqalign{  &  = {x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3} + {y^3} + 3x{y^2} + 3{x^2}y + {x^3} + {y^3} – 3x{y^2} + 3{x^2}y  \cr  &  – {x^3} – 3{x^2}y – 3x{y^2} = {x^3} + {y^3} \cr} \)


Câu 3.4

Rút gọn biểu thức: \(P = 12\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)\)

Giải:

\(P = 12\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)\)

          \(\eqalign{  &  = {1 \over 2}\left( {{5^2} – 1} \right)\left( {{5^2} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {{5^4} – 1} \right)\left( {{5^4} + 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)  \cr &  = {1 \over 2}\left( {{5^8} – 1} \right)\left( {{5^8} + 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {{5^{16}} – 1} \right)\left( {{5^{16}} + 1} \right) = {1 \over 2}\left( {{5^{32}} – 1} \right) \cr} \)


Câu 3.5

Chứng minh hằng đẳng thức: \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)

Giải:

Biến đổi vế trái:

 \(\eqalign{  & {\left( {a + b + c} \right)^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^3} = {\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3}  \cr  &  = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + 3\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}  \cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2}  \cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + 3ac\left( {a + b} \right) + 3bc\left( {a + b} \right) + 3{c^2}\left( {a + b} \right)  \cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right)  \cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right]  \cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \cr} \)

Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.

- Quảng cáo -